Οƒ Puqagorikoˆ, oœj pollací petai Pl twn, t¾n mousik»n fasin nant wn sunarmog¾n kaˆ tîn pollîn nwsin kaˆ tîn d ca fronoúntwn sumfrònhsin Θέων Σμυρναίος, Των κατά το μαθηματικόν χρησίμων, 1, 10-1. Αριθμοί και Αλληγορία Ανέκαθεν οι κοσμοθεωρίες των κατ έθνη ιερατείων εβασίζοντο στον συμβολισμό. Για τον λόγον αυτόν τα ιερά κείμενά τους είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με σημεία, σύμβολα, αριθμούς και αστερισμούς προκειμένου να προστατευθούν αλήθειες και ιδανικά που, διαφορετικά, με το πέρασμα των χρόνων θα υφίσταντο διαστρεύλωση. Υπάρχουν κρίσιμες περικοπές ιερών κειμένων και κειμένων της παγκοσμίου λογοτεχνίας -Βέδδες, Αιγυπτιακό βιβλίο των Νεκρών, Βίβλος, Πλάτων- που πραγματεύονται αριθμούς. Επί πλέον η επανάληψη ταυτοσήμων και ομοίων αριθμών στη Βαβυλώνα, την Αίγυπτο, την Ελλάδα και την Παλαιστίνη επιβεβαιώνουν τις κάποτε αναπτυχθείσες θεωρήσεις, οι οποίες είχαν ιστορική συνέχεια και προσανατολισμό μιας βασικής πνευματικής παραδόσεως. Οι περικοπές αυτές αντιμετωπίζονται με μια νέα οπτική, η οποία αναγνωρίζει τη μουσική ως μία δύναμη ικανή να προβάλλει μια φιλοσοφική σύνθεση. Η οπτική αυτή προέκυψε λαμβάνοντας κατά λέξη τον Πλάτωνα, ο οποίος μας κληροδότησε ένα απόθεμα αριθμολογίας και συσχέτισε μια μυθολογία με μαθηματικές αλληγορίες. Πιστεύεται ότι ο Πλάτων είναι η πολύτιμη στήλη της Ροζέττης για την περισσότερο δυσνόητη επιστήμη των πρωιμοτέρων πολιτισμών. Επί παραδείγματι, ο Πλάτων δηλώνει ότι ο τύραννος είναι 79 φορές χειρότερος από τον χειρότερο βασιλέα (Stephanus 587, d, 1 - e, 4). Τί άραγε εννοεί; Οι φιλόλογοι αποφεύγουν την εμβάθυνση «απλουστεύοντας το κείμενο» και οι μαθηματικοί το αντιμετωπίζουν «ποιητική αδεία». Ο πεπαιδευμένος μουσικός, όμως, γνωρίζει ότι κάθε φθόγγος χαρακτηρίζεται από μια ποσότητα (αριθμητική σχέση) και από μία ποιότητα. Μόνη της, είτε η ποσότητα, είτε η ποιότητα χαρακτηρίζει τον φθόγγο μονοπλεύρως, δεδομένου ότι αμφότερες αποτελούν τις δύο όψεις του αυτού νομίσματος και αμοιβαίως η μία φωτίζει την άλλη. Αναφορικά με τον αριθμό 79, που επέλεξε ο Πλάτων. Αυτός ο αριθμός από τη σκοπιά της μουσικής ως προς μια μοναδιαία συχνότητα ή ως προς ένα μοναδιαίο μήκος ταλαντουμένης χορδής αντιστοιχεί στο μουσικό διάστημα: 9 9 9 9 79 = 9 = 8 = ( ) = 8 8 8 1 το οποίο είναι ένα τρίτονο συν εννέα οκτάβες.
Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Το τρίτονο είναι το πλέον διάφωνο μουσικό διάστημα του μουσικού συστήματος που ήτο γνωστό στον Πλάτωνα. Εξακολουθεί και σήμερα να φέρει τον ίδιο διάφωνο χαρακτήρα (diabolus in musica) στο δυτικό τονικό σύστημα.500 χρόνια μετά απ αυτόν. Αυτό που ο Πλάτων εξετίμησε με τον αριθμό 79 ήτο η σχέση μεταξύ δύο πολιτειακών συστημάτων και τη θεωρεί ως τη μεγίστη δυνατή ένταση μέσα σε ένα πολιτισμένο σύστημα. Στην αρχαιότητα ο μουσικός συμβολισμός εγίνετο άμεσα κατανοητός από τους μεμυημένους και γι αυτό ο Πλάτων τον χρησιμοποιεί συχνά. Όταν κατά τον ρούν της Ιστορίας ο ρόλος της μουσικής από πνευματική ή ψυχική δύναμη εθυσιάσθη στον βωμό της ατομικής εκφράσεως και απολαύσεως, η ερμηνεία των άλλοτε ξεκάθαρων κειμένων κατέστη δύσκολη και καμιά φορά ακατόρθωτη. Στα κείμενα των Βεδδών, που εγράφησαν το 4000 π.χ. περίπου, υπάρχει θεμελιωμένη μια πρωτοεπιστήμη αριθμών και φθόγγων. Ο άνθρωπος του καιρού εκείνου φρόντισε με τους αριθμούς να προσδιορίσει εναλλακτικά χορδίσματα ή εναλλακτικές δομές της διαπασών. Οι ύμνοι περιγράφουν ποιητικά τους αριθμούς, καθορίζοντας σύνολα κλάσεων θεών και δαιμόνων, και παριστούν τονικές και αριθμητικές σχέσεις με σεξουαλικές παραστάσεις. Και οι Ινδοί και οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι και οι Έλληνες (Πυθαγόρειοι) στη μουσική αντιμετωπίζουν μια ιεραρχία αριθμών. Συγκεκριμένα όλοι οι άρτιοι α- ριθμοί, θεωρούνται θηλυκοί αριθμοί, ενώ οι περιττοί αριθμοί θεωρούνται αρσενικοί αριθμοί. Ο Πλάτων λ.χ. στη Γένεση Ψυχής Κόσμου (5a1-5) στο έργο του Τίμαιος α- ναφέρει την συνένωση του ταυτού, δηλαδή της μονάδος που εκπροσωπεί το άρρεν στοιχείο, ως περιττός αριθμός, μετά του θατέρου, δηλαδή της δυάδος που εκπροσωπεί το θηλυκό στοιχείο, ως άρτιος αριθμός, προκειμένου να προκύψει η ουσία, δηλαδή η οντότης τρία, η οποία είναι η αρχή των πυθαγορείων αριθμών. Ο δυϊσμός της εννοίας «μουσικό διάστημα» Στην Πυθαγόρειο μουσική θεωρία η σχέση, δηλαδή ο λόγος, μεταξύ δύο αριθμών εκαλείτο «διάστημα». Γι αυτό ο Νικόμαχος ο Γερασηνός αποκαλεί την Πυθαγόρειο μουσική «θεωρία των λόγων». Έχει καταστεί πλέον συνείδηση ότι αυτή η «θεωρία των λόγων» εμπεριέχει έναν λογαριθμικό χαρακτήρα, διότι κατ αυτήν η πρόσθεση των μουσικών διαστημάτων γίνεται με πολλαπλασιασμό και η αφαίρεσή τους γίνεται με διαίρεση. Αυτά δεν τα κατανοεί ο κοινός νους. Παρ όλα ταύτα η «θεωρία των λόγων» χαρακτηρίζεται από μια «πλαστικότητα» κατά τη μαθηματική της επεξεργασία και γι αυτό προτιμάται από τους Μαθηματικούς. Ο Αριστόξενος ο Ταραντίνος (4 ος αιών π.χ.), εναντιούμενος στον λογαριθμικό χαρακτήρα των πυθαγορείων μουσικών διαστημάτων, εισάγει την γραμμικότητα στα μουσικά διαστήματα ορίζοντας ως μουσικό διάστημα την απόσταση μεταξύ δύο φθόγγων διαφορετικού μουσικού ύψους «διάστημα δ ἐστὶ δυοῖν φθόγγων μεταξύτης» (Νικόμαχος). Κατ αυτόν τον τρόπο η πρόσθεση των αριστοξενείων μουσικών διαστημάτων γίνεται με πρόσθεση και η αφαίρεσή τους γίνεται με αφαίρεση, γεγονός που χωρεί στον κοινό νουν. Ο Αριστόξενος κατήργησε τις όποιες Πυθαγόρειες ανισότητες μεταξύ των συνωνύμων μουσικών διαστημάτων, εισηγούμενος -για πρώτη φορά στην ιστορία της Μουσικής- τον ίσο συγκερασμό. Για τον Αριστόξενο η διαπασών διαιρείται σε έξι ί- σους μεταξύ τους τόνους και ο τόνος διαιρείται σε δύο ίσα μεταξύ τους ημιτόνια, σε τρία ίσα μεταξύ τους τρίτα και σε τέσσερα ίσα μεταξύ τους τέταρτα ή διέσεις.
Οƒ Puqagorikoˆ, oœj pollací petai Pl twn, t¾n mousik»n fasin nant wn sunarmog¾n kaˆ tîn pollîn nwsin kaˆ tîn d ca fronoúntwn sumfrònhsin Η γραμμικότητα σε όλο της το μεγαλείο! Μια γραμμικότητα που φωλιάζει μόνο στη φαντασία του Αριστοξένου, διότι δεν συναντάται στη μουσική πρακτική. Μέγεθος μουσικού διαστήματος Η παράσταση του μουσικού διαστήματος ως λόγου, είτε δύο συχνοτήτων, είτε δύο μηκών ταλαντουμένων τμημάτων χορδής -που επιβάλλει αντί προσθέσεως να κάνουμε πολλαπλασιασμό και αντί αφαιρέσεως να κάνουμε διαίρεση- οδήγησε τους μελετητές στον ορισμό ενός λογαριθμικού μεγέθους, του λεγομένου μεγέθους του μουσικού διαστήματος ως εξής: f log f 1 ( ) ( / 1 ) log f d k δ = d k f f = k = k 1 f 0,0109 όπου η σταθερά k εκφράζει τα ίσα μουσικά διαστήματα, στα οποία θεωρούμε ότι είναι χωρισμένη η διαπασών. Στον χώρο της Βυζαντινής Μουσικής το k=7, αφού η διαπασών διαιρείται σε 7 9 ηχομόρια ή γραμμές και, συνεπώς, ο μείζων τόνος θα έχει μέγεθος 8 9 log 9 8 0,05115 d 7 ( 9 / 8) = 7 log 7 = = 7 = 1,46001... 1 ηχομόρια ή γραμμές. 8 0,0109 0,0109 Με την εισαγωγή της συναρτήσεως του λογαρίθμου προσεδόθη χαρακτήρας γραμμικός στη λογαριθμικότητα του Πυθαγορείου μουσικού διαστήματος με αποτέλεσμα τα μεγέθη των μουσικών διαστημάτων να προστίθενται με πρόσθεση και ν αφαιρούνται με αφαίρεση. Πυθαγόρειες Θεωρίες Οι πυθαγόρειοι ανεκάλυψαν τις βασικές αρχές της παγκοσμίου αρμονίας, των ο- ποίων έκφραση και απείκασμα είναι οι μουσικοί λόγοι. Ο Ιάμβλιχος αναφέρει ότι ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που πραγματοποίησε πειράματα Ακουστικής με τα οποία ανεκάλυψε τους αριθμητικούς λόγους για το ημιόλιο, το επίτριτο, το επόγδοο και το διαπασών διάστημα και στη συνέχεια προχώρησε στην κατασκευή της ομωνύμου μουσικής κλίμακος. Η αλληλοδιαδοχή ποικίλων μουσικών λόγων εντός της διαπασών γεννά αλληλουχία ποικίλων μουσικών διαστημάτων και φθόγγων. Για τον λόγο αυτόν οι παλαιοί μαθηματικοί και μουσικοί αποκαλούσαν τη διαπασών «αρμονίαν», δηλαδή συναρμολόγηση, σύνδεση, εκ του ρήματος αραρίσκω, που σημαίνει συνάπτω, ενώνω, συναρμόζω, βάλλω μαζί, προσαρμόζω τι προς τι, συναρμολογώ τι με τι. Κατά τον Φιλόλαο (Θραύσμα 10, γρ. -) œsti g r rmon a polumigšwn nwsij Πολυμιγής σημαίνει σύμμικτος, μεμιγμένος από πολλά και διάφορα είδη, πολυσύνθετος, πολυποίκιλος. Μας λέει, λοιπόν, ο Φιλόλαος ότι η διαπασών είναι μια ένωση πολυποικίλων μουσικών φθόγγων, τον ρόλο της οποίας προσδιορίζει με το επόμενο μισό της ρήσεώς του: kaˆ d ca froneòntwn sumfrònhsij.
Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής 4 Η αρμονία, άρα, αφορά στο πλήθος των εναντιοτήτων και αντιθέσεων, δηλαδή αυτών που φρονούν ενάντια, αντίθετα. Ο Αριστοτέλης στα Μετά τα Φυσικά (Bekker, 956a, -6) αναφέρει τις κάτωθι αντιθέσεις, οι οποίες δομούν ολόκληρον τον κόσμο: pšraj [kaˆ] peiron, perittõn [kaˆ] rtion, έn [kaˆ] pláqoj, dexiõn [kaˆ] risteròn, rren [kaˆ] qálu, ºremoàn [kaˆ] kinoúmenon, eùqý [kaˆ] kampúlon, fîj [kaˆ] skòtoj, gaqõn [kaˆ] kakòn, tetr gwnon [kaˆ] teròmhkej Ο Πρόκλος (Σχόλια στον Πλατωνικόν Τίμαιον 1, 176, 8) τονίζει: kaˆ eœj potele tai kòsmoj x nant wn ¹rmosmšnoj ο Νικόμαχος ο Γερασηνός (Αριθμητική Εισαγωγή, 1, 6,, 1-) αναφέρει: p n d ¹rmosmšnon x nant wn p ntwj ¼rmostai Ο Αριστοτέλης (De mundo, Bekker, Σελ. 96b, Γρ. 7-1 και 15-17) επισημαίνει Iswj d tîn nant wn ¹ fúsij gl cetai kaˆ k toútwn potele tõ súmfwnon Eoike d kaˆ ¹ tšcnh t¾n fúsin mimoumšnh toàto poie n. mousik¾ d Ñxe j ma kaˆ bare j, makroúj te kaˆ brace j, fqòggouj m xasa n diafòroij fwna j m an petšlesen rmon an, και ο Πλούταρχος (De amicorum multitudine, Stephanus, Σελ. 96, Παρ. Ε Γρ. 7-8), συμφωνών με όλους τους προηγουμένους, γράφει: rmon a di' ntifènwn œcei tõ súmfwnon Όλα τα ανωτέρω σημαίνουν ότι η αρμονία αφορά στο πλήθος των εναντίων, δηλαδή των εναντιοτήτων και των αντιθέσεων, οι οποίες δομούν ολόκληρον τον κόσμο. Μία των αντιθέσεων, η φιλότης και το νείκος, είναι αυτή που διέπει τα πάντα στον κόσμο, με την έννοια ότι, επερχομένη η φιλότης στα δίχα φρονέοντα και αντιτιθέμενα, γεννάται ο δεσμός της αρμονίας ή της φιλότητος και κατά κάποιον τρόπο αυτά ομονοούν και ηρεμούν. Τα πολυμιγέα και δίχα φρονέοντα εκφράζονται δι αριθμών, διότι, όπως τονίζει ο Πρόκλος (Πλάτωνος «Αλκιβιάδη i, τμήμα 59 γραμμή 1-14). «και ο Πυθαγόρας των μεν όντων πάντων σοφώτατον έλεγεν είναι τον αριθμόν» Οι αριθμοί της δεκάδος, λόγω της αφηρημένης φύσεώς των, αποτελούν τα θεία πρότυπα της κοσμικής και μουσικής αρμονίας, απεικονίζοντας τις θείες ιδέες. Ανα-
Οƒ Puqagorikoˆ, oœj pollací petai Pl twn, t¾n mousik»n fasin nant wn sunarmog¾n kaˆ tîn pollîn nwsin kaˆ tîn d ca fronoúntwn sumfrònhsin 5 τρέχοντες στο μουσικό σύστημά μας, από των αρχαιοτάτων χρόνων μέχρις των ημερών μας, εντοπίζουμε όλες τις προαναφερθείσες θεμελειώδεις αρχές της αρμονικής. Όλο το πλήθος των «πολυμιγέων» ανομοιογενών και ανίσων μουσικών διαστημάτων παρίσταται με αριθμητικούς όρους που ο ένας είναι άρρην (περιττός) και ο άλλος θήλυς (άρτιος) (επιμόριες σχέσεις) και αντιστρόφως: 4 5 6 7 8 9 8 56 187,,,,,,,,,,,,... 1 4 5 6 7 8 7 7 4 048 Έκαστον των «πολυμιγέων» ανομοιογενών και ανίσων μουσικών διαστημάτων δεν μπορεί να είναι αυτοτελές και ανεξάρτητο, χωρίς δηλαδή να έχει σχέση και αρμοσία με άλλο ή άλλα διαστήματα από τα οποία παρήχθη και με τα οποία δομεί άλλα μουσικά διαστήματα. Τούτο είναι απόρροια, βάσει υπάρχοντος αρχαίου τεκμηρίου, της πολυπλόκου πυθαγορείου εννοίας και διαδικασίας της καλουμένης ανθυφαιρέσεως ή ανταναιρέσεως. Το αρχαίο τεκμήριο είναι το έκτο απόσπασμα του Φιλολάου του Ταραντίνου, το οποίο αναφέρει: rmon aj d mšgeqòj sti sullab kaˆ di' Ñxei n tõ d di' Ñxei n me zon t j sullab j pogdòwi d sullab p triton, tõ d di' Ñxei n ¹miÒlion, tõ di pas n d diplòon. oûtwj rmon a pšnte pògdoa kaˆ dúo dišsiej, di' Ñxei n d tr a pògdoa kaˆ d esij, sullab d dú' pògdoa kaˆ d esij. Vgl. BOETHIUS Inst. mus. III 8 p. 78, 11 Friedl. Philolaus igitur haec atque his minora spatia talibus definitionibus includit: diesis, inquit, est spatium quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis. comma vero est spatium, quo maior est sesquioctava proportio duabas diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. schisma est dimidium commatis, diaschisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris. Νεοελληνική απόδοση: [Της διαπασών το μέγεθος ισούται με το διατεσσάρων και το διαπέντε. Το μέγεθος του διαπέντε είναι μεγαλύτερο του διατεσσάρων κατά έναν επόγδοο τόνο Το διατεσσάρων είναι σχέση επίτριτος, το διαπέντε είναι σχέση ημιόλιος, το διαπασών είναι σχέση διπλασία. Έτσι, το διαπασών ισούται με πέντε επογδόους τόνους και δύο διέσεις (λείμματα, ελάσσονα ημιτόνια), το διαπέντε ισούται με τρεις επογδόους τόνους και δίεση (λείμμα, έλασσον ημιτόνιο), το διατεσσάρων δε ισούται με δύο επογδόους τόνους και δίεση (λείμμα, έλασσον ημιτόνιο). Vgl. BOETHIUS Inst. mus. III 8 p. 78, 11 Friedl. Ο Φιλόλαος, λοιπόν, αυτά τα ελάσσονα διαστήματα με αυτούς τους ορισμούς τα συμπεριλαμβάνει: δίεση (λείμμα, έλασσον ημιτόνιο), λέει, είναι το διάστημα κατά το οποίο υπερέχει η επίτριτος αναλογία (το διατεσσάρων) του διτόνου. Κόμμα είναι το διάστημα κατά το οποίο υπερέχει ο επόγδοος τόνος των δύο διέσεων, δηλαδή των δύο ελασσόνων ημιτονίων (λειμμάτων). Σχίσμα είναι το ήμισυ του κόμματος. Διάσχισμα είναι το ήμισυ της διέσεως, δηλαδή του ελάσσονος ημιτονίου (λείμματος)]. Οι δίχα φρονέοντες και αλόγως ηχούντες φθόγγοι αποτελούν δυσαρμονίαν (νείκος). Όταν κατά κάποιον λόγο συμφρονήσουν και συνφωνήσουν (φιλότης), γεννάται ο δεσμός της φιλότητος και της αρμονίας. Τούτο επιτυγχάνεται αφενός μεν με την Πυθαγόρειο διαδικασία των μεσοτήτων (αριθμητική, γεωμετρική, αρμονική), αφετέρου δε με την Πλατωνική διαδικασία της Στερεομετρίας.
Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής 6 Πυθαγόρειος διαδικασία των μεσοτήτων (αριθμητική, γεωμετρική, αρμονική) 4 Το δις διατεσσάρων αφαιρούμενο από το διαπασών 1 γεννά τον μείζονα τόνο (επόγδοον) 6 9 8. Πρόκειται για τη λεγομένη μουσική αναλογία. Η αναλογία αυτή, τριχή διαστατή, είναι η μόνη που εμπεριέχει συγχρόνως και την αριθμητική και την αρμονική και τη γεωμετρική αναλογία (εμπλέγδην). 6 8 9 1 a a a a 1 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ a a = a a a = a + a 4 1 1 4 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ a4 a a4 = α1 α4 α1 α = α α4 α1 α4 a a a 1 1 ( ) α α = α + α 1 4 1 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ( ΕΜΠΛΕΓ ΗΝ) a a 4 a = a 1 Σχήμα 1: Το δις διατεσσάρων ( : ) Όροι 1 : 6, σε σχέση διπλάσια (διαπασών) Πρόοδος 9:6, 1:8 σε σχέση ημιόλιο Υπόλοιπα 8 : 6, 1 : 9 σε σχέση επίτριτο 4 αφαιρούμενο από το διαπασών ( : 6) τόνος (επόγδοος) ( 9 : 8). 1 προκύπτει ο μείζων
Οƒ Puqagorikoˆ, oœj pollací petai Pl twn, t¾n mousik»n fasin nant wn sunarmog¾n kaˆ tîn pollîn nwsin kaˆ tîn d ca fronoúntwn sumfrònhsin 7 Πλατωνική διαδικασία της Στερεομετρίας Ιδιαιτέρα σημασία έχει η παρεμβολή των δύο μέσων μεταξύ των δύο δοθέντων κύβων με τη συνδρομή της Στερεομετρίας, όπως αναφέρει ο Νικόμαχος ο Γερασηνός. Γι αυτό ο Πλάτων θεωρεί την Στερεομετρία ως ιδιότητα εξαγνίζουσα τον άνθρωπο και την τοποθετεί μετά την Γεωμετρία και πριν από τη Μουσική. Σχήμα : ΟΚΙΣ ΚΥΒΟΣ ΜΕΓΑΛΟΣ = ΚΥΒΟΣ ΜΙΚΡΟΣ ΠΛΗΝΘΙΣ Η διαδικασία έχει ως εξής: Δοθέντων δύο κύβων, ενός μικρού και ενός μεγάλου παρατίθενται ανάμεσά τους ώστε να σχηματίζουν αναλογία μία δοκίς, η οποία έχει τη βάση του μικρού κύβου και του ύψος του μεγάλου κύβου και μια πληνθίς, η οποία έχει τη βάση του μεγάλου κύβου και το ύψος του μικρού. Στην περίπτωση κατά την οποίαν ο μικρός κύβος έχει πλευρά ίση με τη μονάδα (1Χ1Χ1=1) και ο μεγάλος κύβος έχει πλευρά ίση με (ΧΧ=8), δοκίς είναι ο α- ριθμός (1Χ1Χ=) και πληνθίς είναι ο αριθμός 4 (ΧΧ1=4). Τα προηγούμενα με μουσικούς όρους διατυπούνται ως εξής: Όταν το δις διαπασών αφαιρείται από το τρις διαπασών, γεννάται το 1 1 διαπασών 1. Σχήμα : Όταν το δις διαπασών ( :1 ) αφαιρείται από το τρις διαπασών ( :1 ), γεννάται το διαπασών ( :1). Όροι 8:1, σε σχέση οκταπλασία Πρόοδος 4 :1, 8 :, σε σχέση τετραπλασία Υπόλοιπα :1, 8 : 4, σε σχέση διπλασία Διαφοραί 1:4:8 4 1 : 8 4 :4 σε σχέση επίτριτο ( ) ( )
Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής 8 1: : 8 ( 1) : ( 8 ) 1: 6 σε σχέση εξαπλασία Επί όλων των θεμάτων, τα οποία εθίγησαν εις την εισήγησή μου, ο αναγνώστης μπορεί να ενημερωθεί πλήρως και αναλυτικώς από τα βιβλία: 1. Σίμωνος Ι. Καρά, «Τα βασικά γνωρίσματα της Βυζαντινής Εκκλησιαστικής Μουσικής» το οποίο θα κυκλοφορήσει οσονούπω.. Χαραλάμπου Χ. Σπυρίδη, «Αναλυτική Γεωμετρία για την Πυθαγόρειο Μουσική»